Criptografía Asimétrica

Claves (a)simétricas, Números primos, HASH, RSA, Diffie-Hellman

@joanh (2025) CC BY 4.0

Recordatorio: ¿asimétrica vs simétrica?

• Criptografía simétrica
  • Una sola clave: la misma para cifrar y descifrar
  • Muy rápida
  • Problema: ¿cómo compartimos la clave de forma segura?
• Criptografía asimétrica
  • Dos claves relacionadas matemáticamente:
    • Clave pública: se puede publicar
    • Clave privada: se mantiene secreta
  • Más lenta, pero resuelve el problema de compartir secretos

Esquema básico de clave pública

¿Cómo funciona?

• Cada usuario genera dos claves:
  • Clave pública (K_pub): se puede compartir libremente.
  • Clave privada (K_priv): debe mantenerse secreta.
• La clave pública se distribuye libremente.
• Propiedades principales:
  • Cifrado:
    Si Ana quiere enviar un mensaje secreto a David, cifra el mensaje usando la clave pública de David (K_pub de David).
    Solo David podrá descifrarlo con su clave privada (K_priv de David).
  • Firma digital:
    Si David quiere firmar un mensaje, utiliza su clave privada (K_priv de David) para generar la firma.
    Cualquiera puede verificar la autenticidad usando la clave pública de David (K_pub de David).
• El diagrama muestra cómo Ana cifra un mensaje para David usando la clave pública de David, y cómo David lo descifra con su clave privada; y cómo David puede firmar digitalmente un mensaje y Ana verificarlo con la clave pública de David.

Uso de números primos en criptografía asimétrica

¿Por qué números primos?

• Propiedades matemáticas especiales

• Difíciles de factorizar

• Ejemplo:

  • Elegimos dos primos grandes (p) y (q)
  • Calculamos el producto:

\[ n = p \cdot q \]

• Multiplicar dos primos es fácil, pero encontrar los factores de un número grande (n) (es decir, recuperar (p) y (q) a partir de (n)) es computacionalmente muy difícil.

• Idea clave:
  La seguridad de RSA se basa en que, aunque cualquiera puede calcular (n), solo quien conoce (p) y (q) puede realizar ciertas operaciones matemáticas (como calcular la clave privada).

Propiedad “unidireccional”

• Fácil de calcular en una dirección:
  • Ejemplo: multiplicación
• Difícil de revertir sin información adicional:
  • Ejemplo: factorización

¿Qué significa “grande” en criptografía?

• Números tan grandes que las computadoras actuales no pueden factorizar en un tiempo razonable
• Ejemplo: (2048) bits para RSA

Resumen: primos en asimétrica

• Se utilizan números primos grandes para:
  • Generar claves en RSA
  • Asegurar la comunicación en Diffie-Hellman
• La seguridad se basa en la dificultad de factorizar el producto de dos primos grandes

¿Qué es un hash?

• Un hash es una función matemática que transforma cualquier dato (texto, archivo, etc.) en una cadena corta de longitud fija.
• Propiedades:
  • Es fácil calcular el hash de un dato.
  • Es prácticamente imposible reconstruir el dato original a partir del hash.
  • Cambios mínimos en el dato producen un hash completamente diferente.
• Usos:
  • Verificar integridad de datos.
  • Firmas digitales.
  • Almacenamiento seguro de contraseñas.
• Ejemplo de función hash: SHA-256, MD5.

Irreversibilidad y colisiones en los hash

• Irreversibilidad:
  Aunque conozcas la función hash, no puedes recuperar el mensaje original a partir del hash.
  El proceso es “unidireccional”: solo puedes calcular el hash, nunca invertirlo.

• Colisión de hash:
  Dos mensajes diferentes pueden, en casos raros, producir el mismo hash.
  Esto se llama colisión y los buenos algoritmos de hash la hacen extremadamente improbable.

• Por eso los hash se usan para verificar integridad, pero no para cifrar mensajes.

RSA: idea general

• Basado en la dificultad de factorizar números grandes
• Usa dos claves:
  • Clave pública ((n, e)): se comparte con todos
  • Clave privada ((n, d)): se mantiene en secreto

RSA: generación de claves (simplificado)

1. Elegir dos números primos grandes:
   (p) y (q)

2. Calcular el producto:
   \[ n = p \cdot q \] Este número (n) será parte de ambas claves.

3. Calcular la función phi de Euler:
   \[ \varphi(n) = (p-1) \cdot (q-1) \] Es un valor auxiliar necesario para los siguientes pasos.

4. Elegir el exponente público:
   Selecciona un número (e) tal que (1 < e < (n)) y que sea coprimo con ((n)), es decir: \[ \gcd(e, \varphi(n)) = 1 \] Esto garantiza que (e) tenga inverso módulo ((n)).

5. Calcular el exponente privado:
   Busca el número (d) tal que: \[ e \cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)} \] Es decir, (d) es el inverso multiplicativo de (e) módulo ((n)).

6. Las claves resultantes son:

   • Clave pública: (n, e)   (se puede compartir libremente)
   • Clave privada: (n, d)   (debe mantenerse secreta)

Solo quien conoce los primos originales puede calcular la clave privada. El resto del mundo solo conoce la clave pública.

RSA: cifrado y descifrado

Cifrado

• El emisor calcula:

\[ c \equiv m^{e} \pmod{n} \]

¿Qué significa esta fórmula?

• (m) es el mensaje convertido en número.
• (e) es la clave pública del receptor.
• (n) es el producto de dos números primos grandes (parte de la clave).
• La expresión (m^{e} ) significa: eleva el mensaje a la potencia (e), divide el resultado entre (n) y quédate solo con el resto.
• El resultado, (c), es el mensaje cifrado que se envía.
• Envía (c) al receptor.

Descifrado

• El receptor calcula:

\[ m \equiv c^{d} \pmod{n} \]

La seguridad de RSA se basa en que, sin conocer la clave privada (d), es prácticamente imposible recuperar el mensaje original (m) a partir de (c).

RSA: firma digital (idea)

• Para firmar un mensaje:
  1. Se calcula un hash del mensaje (por ejemplo, SHA-256)
  2. Se aplica la operación de “descifrado” con la clave privada: \[ s \equiv h^{d} \pmod{n} \]
• Para verificar la firma:
  1. Se vuelve a calcular el hash del mensaje
  2. Se aplica la operación de “cifrado” con la clave pública: \[ h' \equiv s^{e} \pmod{n} \]
  3. Si (h’ = h), la firma es válida

RSA: usos principales

• Cifrado de datos: proteger información sensible
• Firmas digitales: autenticar origen e integridad
• Certificados digitales: verificar identidades en línea

Diffie-Hellman: el problema

• Necesidad de compartir una clave secreta a través de un canal inseguro
• Solución: usar un intercambio de claves basado en problemas matemáticos difíciles de resolver

Diffie-Hellman: idea básica

• Dos partes generan claves públicas y privadas
• Intercambian claves públicas
• Cada parte calcula la clave secreta usando su propia clave privada y la clave pública de la otra parte

Diffie-Hellman: protocolo

1. A elige un secreto (a) (privado) y calcula: \[ A = g^{a} \pmod{p} \] Envía (A) a B.

2. B elige un secreto (b) (privado) y calcula: \[ B = g^{b} \pmod{p} \] Envía (B) a A.

3. Cada uno calcula la clave compartida:

   • A calcula: \[ K = B^{a} \pmod{p} \]
   • B calcula: \[ K = A^{b} \pmod{p} \]

En ambos casos: \[ K = g^{ab} \pmod{p} \] por lo que A y B comparten la misma clave sin haberla enviado nunca.

Seguridad de Diffie-Hellman

• Un atacante puede ver los valores públicos: \[ p,\quad g,\quad A = g^{a} \pmod{p},\quad B = g^{b} \pmod{p} \]

• Pero para calcular la clave secreta compartida: \[ K = g^{ab} \pmod{p} \] necesitaría conocer el valor secreto de (a) o (b).

• ¿Por qué es seguro?

  • Calcular (A) o (B) es fácil si conoces el secreto.
  • Pero, dado solo (A) y (p, g), descubrir (a) es extremadamente difícil (problema del logaritmo discreto).
  • Sin (a) ni (b), no se puede obtener (K).

La seguridad de Diffie-Hellman se basa en que, aunque los valores públicos se pueden ver y copiar, el secreto solo puede ser calculado por quienes conocen los valores privados.
Por eso se usa para acordar claves en canales inseguros.

Variantes modernas: ECDH

• ECDH (Elliptic Curve Diffie-Hellman):
  • Basado en curvas elípticas
  • Ofrece la misma seguridad que Diffie-Hellman con claves más pequeñas

Aplicaciones de la clave simétrica

• Cifrado de datos: proteger información almacenada o transmitida
• Firmas digitales: autenticar documentos y software
• Certificados digitales: verificar identidades en línea

Criptografía híbrida

• Combina criptografía simétrica y asimétrica
• Ejemplo: RSA para intercambiar una clave simétrica, luego AES para cifrar los datos

Ejemplo: HTTPS (TLS)

1. El navegador y el servidor acuerdan usar RSA o Diffie-Hellman.
2. Se establece una conexión segura y se intercambian claves.
3. Se usa una clave simétrica (ej. AES) para cifrar la sesión.

Otros ejemplos de uso de clave simétrica

• VPN: cifrado de túneles seguros
• Cifrado de disco: proteger datos en reposo
• Correo cifrado: asegurar la privacidad de las comunicaciones

Resumen general

• RSA:
  • Basado en (n = p q)
  • Se usa para:
    • Cifrar claves simétricas
    • Firmas digitales
    • Certificados
• Diffie-Hellman:
  • Permite acordar una clave secreta por un canal inseguro
  • Se basa en el problema del logaritmo discreto

Para el examen…

• Explicar con tus palabras:
  • Por qué se usan números primos en criptografía asimétrica
  • En qué se basa la seguridad de RSA
  • Cómo funciona el intercambio de claves Diffie-Hellman
  • Por qué los sistemas reales usan una combinación de criptografía simétrica y asimétrica

Piensa siempre en ejemplos concretos: HTTPS, VPN, cifrado de disco, correo cifrado…